Trabajo y Energía
Impulso y Momentum

Principios de conservación y teoremas fundamentales

Física I: Dinámica y Cinemática | Nivel: Medio

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INTRODUCCIÓN

Conceptos Fundamentales

En el estudio de la mecánica, son de gran relevancia los conceptos de trabajo y energía. La importancia de este último concepto surge del principio de conservación de la energía:

⚡ Principio de conservación de la energía

La energía es una cantidad que se convierte de una forma a otra, pero no se crea ni se destruye.

Objetivos de aprendizaje

Trabajo y Energía

  • Energía cinética (movimiento)
  • Teorema trabajo-energía
  • Cambios en rapidez, no velocidad
  • Conservación de energía mecánica

Impulso y Momentum

  • Cantidad de movimiento (momentum)
  • Impulso de una fuerza
  • Teorema impulso-momentum
  • Conservación del momentum
📌 Importancia

Estos conceptos nos permiten resolver problemas de mecánica que no podríamos haber resuelto aplicando directamente las leyes de Newton.

8.1 — TRABAJO

Definición de Trabajo

Consideremos un cuerpo que experimenta un desplazamiento de magnitud s en línea recta. Mientras el cuerpo se mueve, una fuerza F (vector) actúa sobre él.

Caso 1: Fuerza paralela al desplazamiento

Si la fuerza actúa en la dirección del desplazamiento, el trabajo W es:

W = F · s
📏 Unidades

• SI: Joules (J)
• Equivalencia: 1 J = 1 N·m (newton-metro)

⚠️ Nota importante

No confundas la W mayúscula (trabajo) con la w minúscula (peso). Aunque los símbolos son similares, trabajo y peso son cantidades distintas.

8.1 — TRABAJO

Trabajo con Fuerza en Ángulo

Sin embargo, si la fuerza se aplica con un ángulo θ (theta) respecto al desplazamiento, la fuerza F tiene:

Componente paralela

Fparalela = F cos θ

Esta componente realiza trabajo

Componente perpendicular

Fperpendicular = F sen θ

Esta componente NO realiza trabajo

Fórmula general del trabajo

Como solo nos interesa el trabajo realizado por la componente paralela:

W = F s cos θ
✅ Casos especiales

• θ = 0°: W = Fs (fuerza paralela, trabajo positivo máximo)
• θ = 90°: W = 0 (fuerza perpendicular, sin trabajo)
• θ = 180°: W = −Fs (fuerza opuesta, trabajo negativo)

📌 Conclusión

Una fuerza constante puede hacer trabajo positivo, negativo o cero, dependiendo del ángulo entre F y el desplazamiento.

8.2 — ENERGÍA

Energía Cinética

⚡ Definición de energía

La energía es una cantidad física que produce un trabajo y a su vez movimiento.

La energía cinética está presente cuando un objeto tiene movimiento.

K = ½ m v²

Variables

  • K: energía cinética
  • m: masa del objeto
  • v: rapidez del objeto

Unidades

La energía cinética tiene unidades:

kg·m²/s² = J (Joules)
💡 Observación importante

La energía cinética depende de la rapidez (magnitud de la velocidad), no de la dirección. Por lo tanto, es una cantidad escalar, no vectorial.

8.2 — ENERGÍA

Tipos de Energía y Trabajo

De los conceptos de energía y trabajo, se obtienen los siguientes tipos:

Tipo Símbolo Fórmula Descripción
Energía potencial U U = mgh Energía debida a la posición en un campo gravitacional
Energía elástica UR UR = ½kx² Energía almacenada en un resorte comprimido/estirado
Energía cinética rotacional KR KR = ½Iω² Energía de un objeto en rotación
Trabajo de fricción Wf Wf = −fr·d = −μNd Trabajo realizado por la fuerza de fricción (siempre negativo)
📌 Notas sobre las fórmulas

• g: aceleración de la gravedad (9.8 m/s²)
• h: altura sobre un nivel de referencia
• k: constante del resorte (N/m)
• x: deformación del resorte
• I: momento de inercia
• ω: velocidad angular
• μ: coeficiente de fricción
• N: fuerza normal

8.3 — TEOREMA TRABAJO-ENERGÍA

Deducción del Teorema

El trabajo es una forma de energía que se puede analizar con base en la segunda Ley de Newton.

Paso 1: Segunda Ley de Newton

Para un movimiento horizontal con fuerza Fx:

Fx = m ax

Paso 2: Expresar aceleración en términos de velocidades

Usando cinemática, la aceleración se puede expresar como:

ax = (vf² − vo²) / (2s)

Donde vo es la velocidad inicial, vf es la velocidad final, y s es la distancia recorrida.

Paso 3: Sustitución

Al sustituir esta ecuación en la segunda Ley de Newton:

Fx = m · (vf² − vo²) / (2s)

Multiplicando ambos lados por s:

Fx s = ½ m vf² − ½ m vo²
8.3 — TEOREMA TRABAJO-ENERGÍA

Enunciado del Teorema

De la deducción anterior, identificamos:

Trabajo neto

Wneto = Fx s

Energía cinética

K = ½ m v²

Forma general del teorema

Wneto = ΔK = Kf − Ki

O equivalentemente:

Wneto = ½ m vf² − ½ m vo²
✅ Teorema trabajo-energía

El trabajo neto o resultante aplicado a un cuerpo produce un cambio en la energía cinética de dicho cuerpo.

⚠️ Caso especial

En caso de que la velocidad sea constante (vf = vo), el trabajo neto debe ser cero.

8.3 — EJEMPLO

Aplicación del Teorema Trabajo-Energía

📝 Problema

Un bloque de 6.5 kg, inicialmente en reposo, se jala hacia la derecha a lo largo de una superficie horizontal sin fricción, mediante una fuerza horizontal constante de 12 N. Encuentra la rapidez del bloque después de que se ha movido 4 metros.

Solución

Paso 1: Calcular el trabajo

W = F · s = (12 N)(4 m) = 48 J

Paso 2: Aplicar teorema trabajo-energía

Como el bloque parte del reposo, Ki = 0:

W = Kf − Ki
48 J = ½ m vf² − 0

Paso 3: Despejar vf

vf = √(2W/m) = √(2 × 48 J / 6.5 kg)
vf = 3.8 m/s
✅ Respuesta

La rapidez del bloque después de 4 metros es 3.8 m/s.

CONSERVACIÓN DE ENERGÍA

Principio de Conservación de la Energía

⚡ Principio fundamental

La energía no se crea ni se destruye, solo se transforma.

Ecuación general

Einicial = Efinal

Para sistemas mecánicos conservativos (sin fricción):

Ki + Ui = Kf + Uf

Caso: Resorte con fricción

En el caso de conservación de la energía entre un resorte y el trabajo de fricción:

½ k x² = ½ m v² + μ m g d
📌 Variables

• k: constante del resorte
• x: distancia comprimida en el resorte
• m: masa del objeto
• μ: coeficiente de fricción
• d: distancia recorrida hasta detenerse
• g: gravedad

TRABAJO CON FUERZA VARIABLE

Cálculo mediante Integral

En el caso de que la fuerza sea variable, el trabajo debe calcularse como:

W = ∫xoxf Fx dx
📌 Interpretación

• Fx: fuerza horizontal (que varía con la posición)
• xo: posición inicial
• xf: posición final
• La integral representa el área bajo la curva F vs x

✅ Método geométrico

Recordemos que una integral representa el área bajo la curva. Por lo tanto, se puede calcular de manera geométrica el trabajo si se conoce la gráfica de Fx vs x.

Ejemplo importante: Resorte

Para un resorte con fuerza F = −kx:

W = ∫0x kx dx = ½ k x²

Esto corresponde a la energía elástica almacenada.

EJEMPLO — CONSERVACIÓN

Pelota Lanzada Verticalmente

📝 Problema

Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba a una velocidad de 6 m/s. Determinar la altura alcanzada.

Solución por conservación de energía

Energía inicial (en el lanzamiento)

Ei = Ki + Ui = ½ m vo² + 0

La energía potencial inicial es cero (nivel de referencia)

Energía final (en altura máxima)

Ef = Kf + Uf = 0 + mgh

En altura máxima, la velocidad es cero

Conservación de energía

½ m vo² = mgh

Observa que la masa se cancela:

h = vo² / (2g) = (6 m/s)² / (2 × 9.8 m/s²)
h = 1.84 m
✅ Respuesta

La pelota alcanza una altura de 1.84 metros.

10.1 — MOMENTUM

Cantidad de Movimiento (Momentum)

Vamos a revisar dos conceptos nuevos: cantidad de movimiento e impulso, y una nueva ley de conservación tan importante como la de conservación de la energía.

Deducción desde la Segunda Ley de Newton

Consideremos una partícula de masa constante m. La segunda ley de Newton establece:

F = m a

Puesto que a = dv/dt, podemos reescribir:

F = m (dv/dt) = d(m v)/dt

Definición de momentum

Definimos la cantidad de movimiento o momentum como:

p = m v
📏 Características

• Es una cantidad vectorial
• Unidades en SI: kg·m/s
• Depende de la masa y la velocidad
• Tiene la misma dirección que la velocidad

10.2 — IMPULSO

Impulso de una Fuerza

📌 Definición

El impulso (I) es una cantidad física vectorial que se produce cuando una fuerza se aplica a un objeto por un determinado tiempo.

I = F × Δt
📏 Unidades

• En el SI: newton-segundo (N·s)
• Puesto que 1 N = 1 kg·m/s², también: kg·m/s
• Las mismas unidades que la cantidad de movimiento

💡 Consecuencia

La aplicación de un impulso produce un cambio en el momentum o cantidad de movimiento del objeto.

10.3 — TEOREMA IMPULSO-MOMENTUM

Deducción del Teorema

Paso 1: Segunda Ley de Newton

F = m a

Paso 2: Definición de aceleración

a = (vf − vo) / Δt

Paso 3: Sustitución

Al sustituir en la segunda Ley de Newton:

F = m · (vf − vo) / Δt

Multiplicando ambos lados por Δt:

F × Δt = m vf − m vo

Identificación de términos

Impulso

I = F × Δt

Cambio de momentum

Δp = pf − po
10.3 — TEOREMA IMPULSO-MOMENTUM

Enunciado del Teorema

I = Δp

O de forma expandida:

F × Δt = m vf − m vo
✅ Teorema del impulso y el momentum

El impulso aplicado a un cuerpo produce un cambio en el momentum (cantidad de movimiento) de dicho cuerpo.

Si F × Δt aumenta...

El cambio de momentum aumenta.
Ejemplos:

  • Mayor fuerza → mayor cambio
  • Mayor tiempo → mayor cambio

Aplicaciones

  • Airbags (↑Δt → ↓F)
  • Colchones de caída
  • Golpes deportivos
  • Colisiones
💡 Principio de seguridad

Para un mismo cambio de momentum, si aumentamos el tiempo de impacto, disminuimos la fuerza necesaria. Por eso los airbags y cinturones de seguridad son efectivos.

CONSERVACIÓN DEL MOMENTUM

Ley de Conservación de la Cantidad de Movimiento

⚡ Principio de conservación

En ausencia de fuerzas externas, el momentum total de un sistema permanece constante.

ptotal inicial = ptotal final

Para un sistema de dos partículas:

m₁ v₁ᵢ + m₂ v₂ᵢ = m₁ v₁f + m₂ v₂f
📌 Condiciones de aplicación

Este principio aplica cuando:

  • No hay fuerzas externas (sistema aislado)
  • Las fuerzas externas son despreciables
  • Las fuerzas externas se cancelan entre sí
🎯 Aplicaciones importantes
  • Colisiones (elásticas e inelásticas)
  • Explosiones y fragmentaciones
  • Propulsión de cohetes
  • Retroceso de armas de fuego
RESUMEN

Comparación de Teoremas

Aspecto Teorema Trabajo-Energía Teorema Impulso-Momentum
Ecuación Wneto = ΔK I = Δp
Forma expandida Fs = ½mvf² − ½mvo² F × Δt = mvf − mvo
Variable clave Desplazamiento (s) Tiempo (Δt)
Tipo de cantidad Escalar Vectorial
Depende de Rapidez (magnitud) Velocidad (vector)
Unidades Joules (J) N·s = kg·m/s
Conservación Energía mecánica (sistemas conservativos) Momentum (sistemas aislados)
✅ Complementariedad

Ambos teoremas son herramientas complementarias. Algunos problemas se resuelven más fácilmente con uno que con otro, dependiendo de los datos disponibles.

🎯 EJERCICIO 1

Práctica: Conceptos Fundamentales

📝 Instrucciones

Selecciona la respuesta correcta para cada pregunta.

🎯 EJERCICIO 2

Práctica: Cálculos

📝 Instrucciones

Resuelve los siguientes problemas. Escribe solo el número con un decimal (ej: 12.5)

BIBLIOGRAFÍA

Referencias en Formato APA

📚 Libro de texto principal

Serway, R., y Jewett, J. (2018). Física para ciencias e ingeniería, Vol. 1 (10ª ed.). México: CENGAGE Learning. ISBN: 9786075266695

📖 Libro de apoyo

Young, H., y Freedman, R. (2018). SEARS Y ZEMANSKY FÍSICA UNIVERSITARIA con Física Moderna. México: Pearson. ISBN: 9786073244404

💡 Contenidos basados en
  • Capítulo 8: Trabajo y energía cinética
  • Conservación de la energía mecánica
  • Capítulo 10: Impulso y cantidad de movimiento
  • Teoremas trabajo-energía e impulso-momentum

Conclusiones

El trabajo total realizado sobre una partícula es igual al cambio en su energía cinética

La conservación de la energía y del momentum son principios fundamentales de la física

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